Question

13．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）若AB=1，求四棱锥C-ABED的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE的中点G，连FG、BG，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面BCE内一直线平行即可，而AF∥BG，满足定理；
（Ⅱ）证明AF⊥平面CDE，利用BG∥AF，可得BG⊥平面CDE，即可证明平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）取AD中点M，连接CM，而CM⊥平面ABED，则CM为四棱锥C-ADEB的高，根据体积公式V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=$\frac{1}{2}$DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=$\frac{1}{2}$DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE；
（Ⅱ）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD                                               
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．                                              
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．                       
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）解：取AD中点M，连接CM，
∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，
∴CM为四棱锥C-ADEB的高，
∴V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED=$\frac{1}{3}$AF•S_ABED=$\sqrt{3}$．

点评 本小题主要考查直线与平面平行，平面与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．