Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x+b}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式 f（x²-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，求出b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据单调性的定义证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（x²-1）+f（x）＜0可化为-1＜x²-1＜-x＜1，即可解不等式 f（x²-1）+f（x）＜0．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴$\frac{-x+b}{1+{x}^{2}}$=-$\frac{x+b}{{1+{x^2}}}$
∴b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，
则△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{△x（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}_}$
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x）在（0，1）上是增函数，
∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（x²-1）+f（x）＜0可化为-1＜x²-1＜-x＜1，
解得-1＜x＜0或0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴不等式的解集为{x|-1＜x＜0或0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$}．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．