Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

3

anan+1

，Tn是数列{bn}的前n项和，求出Tn；并求使得T

n

＜

m

7

对所有n∈N*都成立的m的范围．

Answer 1

分析：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx．f'（x）=2ax+b，由2a=6b=-2，知f（x）=3x²-2x，由（n，S_n）在y=3x²-2x上，知S_n=3n²-2n．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(an+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，知T_n=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)=

3n

6n+1

，由Tn＜

m

7

恒成立，则m＞7Tn恒成立．由此能求出所有n∈N*都成立的m的范围．

解答：解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx．
f'（x）=2ax+b，
∴2a=6b=-2．
∴f（x）=3x²-2x
（n，S_n）在y=3x²-2x上，
则S_n=3n²-2n．
又n≥2时a_n=S_n-S_n-1
=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）
=6n-5
又n=1时a₁=3-2=1=6×1-5符合，
∴a_n=6n-5．
（2）bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(an+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)
=

1

2

(1-

1

6n+1

)
=

3n

6n+1

Tn＜

m

7

恒成立，则m＞7Tn恒成立．
∴m＞（7T_n）_max
T_n+1-T_n=b_n+1＞0，
∴T_n随n增大而增大，
又Tn＜

1

2

，
∴m≥7×

1

2

=

7

2

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．