Question

（2013•崇明县二模）设M为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数λ和向量

a

∈M，都有λ

a

∈M，则称M为“点射域”，在此基础上给出下列四个向量集合：①{（x，y）|y≥x²}；②{（x，y）|

x-y≥0 x+y≤0

}；③{（x，y）|x²+y²-2y≥0}；④{（x，y）|3x²+2y²-12＜0}．其中平面向量的集合为“点射域”的序号是

②

．

Answer 1

分析：根据题中“点射域”的定义对各个选项依次加以判别，可得①③④都存在反例，说明它们不是“点射域”，而②通过验证可知它符合“点射域”的定义，是正确选项．

解答：解：根据“点射域”的定义，可得向量

a

∈M时，与它共线的向量λ

a

∈M也成立，
对于①，M={（x，y）|y≥x²}表示终点在抛物线y≥x²上及其张口以内的向量构成的区域，
向量

a

=（1，1）∈M，但3

a

=（3，3）∉M，故它不是“点射域”；
对于②，M={（x，y）|

x-y≥0 x+y≤0

}，可得任意正实数λ和向量

a

∈M，都有λ

a

∈M，故它是“点射域”；
对于③，M={（x，y）|x²+y²-2y≥0}，表示终点在圆x²+y²-2y=0上及其外部的向量构成的区域，
向量

a

=（0，2）∈M，但

1

2

a

=（0，1）∉M，故它不是“点射域”；
对于④，M={（x，y）|3x²+2y²-12＜0}，表示终点在椭圆

y2

6

+

x2

4

=1内部的向量构成的区域，
向量

a

=（1，1）∈M，但3

a

=（3，3）∉M，故它不是“点射域”．
综上所述，满足是“点射域”的区域只有②
故答案为：②

点评：本题给出特殊定义，叫我们判断符合题的选项，着重考查集合与元素的关系和向量的性质等知识，属于基础题．