Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n²a_n-n²（n-1），且a₁=

1

2

，令b_n=n+

1

n

S_n，证明：b_n-b_n-1=

3

2

（n≥2）．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把原递推式变形得到

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=n，然后利用累加法求得Sn=

n2

2

，代入b_n=n+

1

n

S_n后直接作差证得答案．

解答： 证明：由S_n=n²a_n-n²（n-1），得
当n≥2时：S_n=n²（S_n-S_n-1）-n²（n-1），
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n2(n-1)，
则

(n2-1)Sn

n(n-1)

-

n2Sn-1

n(n-1)

=n，即

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=n．
分别取n=2，3，4，…，n，得

3

2

S2-

2

1

S1=2，

4

3

S3-

3

2

S2=3，

5

4

S4-

4

3

S3=4，
…

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=n．
累加得：

n+1

n

Sn-2S1=2+3+4+…+n=

(2+n)(n-1)

2

，
∴

n+1

n

Sn=2×

1

2

+

(n+2)(n-1)

2

=

n2+n

2

．
∴Sn=

n2

2

．
则b_n=n+

1

n

S_n=n+

n

2

=

3n

2

．
∴b_n-b_n-1=

3n

2

-

3(n-1)

2

=

3

2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．