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已知a>0,b>0,若不等式
m
3a+b
-
3
a
-
1
b
≤0恒成立,则m的最大值为
 
考点:函数恒成立问题
专题:不等式的解法及应用
分析:依题意,得m≤(
3
a
+
1
b
)(3a+b)=9+
3b
a
+
3a
b
+1恒成立,构造函数g(a,b)=9+
3b
a
+
3a
b
+1,利用基本不等式可求得g(a,b)min=16,从而可求m的最大值.
解答: 解:∵不等式
m
3a+b
-
3
a
-
1
b
≤0恒成立,
m
3a+b
3
a
+
1
b
,又a>0,b>0,
∴m≤(
3
a
+
1
b
)(3a+b)=9+
3b
a
+
3a
b
+1恒成立,
令g(a,b)=9+
3b
a
+
3a
b
+1,
则m≤g(a,b)min
∵g(a,b)=9+
3b
a
+
3a
b
+1≥10+2
3b
a
3a
b
=16(当且仅当a=b时取“=”),
∴g(a,b)min=16,
∴m≤16,
∴m的最大值为16,
故答案为:16.
点评:本题考查函数恒成立问题,考查构造函数的思想与等价转换的思想的综合应用,突出考查基本不等式的应用,属于中档题.
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lnx
x
-1

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n
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n+1
n
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15
4

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9
4
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n
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π
3
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π
2
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π
4
π
6
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π
3
6
]上的图象.

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a
b
c
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a
b
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b
c
=0,则a与c的位置关系是
 

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sin
π
12
=
 

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