Question

11．若命题“存在实数x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0成立”是假命题，则实数a的取值范围是（-2，2]．

Answer 1

分析 由原命题的否定为真命题得到?实数x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解．

解答 解：命题“存在实数x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0成立”是假命题，
则其否定为“?实数x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0成立”是真命题，
当a=2时，原不等式化为-4＜0恒成立；
当a≠2时，则$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（-2，2]．
故答案为：（-2，2]．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．