Question

16．已知函数f（x）=x²-2bx-3（b∈R）
（1）若f（x）在区间[0，3]上不具有单调性，求b的取值范围；
（2）若b=1且当x∈[0，3]时，f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）在[0，3]上的最小值g（b）．

Answer 1

分析 （1）求得对称轴，由二次函数的性质，即可得到b的范围；
（2）求出对称轴，求得最小值，由恒成立思想，即可得到m的范围；
（3）求得对称轴x=b，结合区间，讨论当b≤0时，当b≥3时，当0＜b＜3时，运用单调性即可得到最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2bx-3的对称轴为x=b，
f（x）在区间[0，3]上不具有单调性，即有0＜b＜3，
则b的取值范围是（0，3）：
（2）f（x）=x²-2x-3的对称轴为x=1，
由于1∈[0，3]，则f（1）取得最小值，且为-4，
f（x）＞m恒成立，即有m＜-4；
（3）函数f（x）=x²-2bx-3的对称轴为x=b，
当b≤0时，[0，3]为增区间，即有f（0）最小，且为-3；
当b≥3时，[0，3]为减区间，即有f（3）最小，且为6-6b；
当0＜b＜3时，x=b取得最小值，且为-3-b²．
则g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，b≤0}\\{-3-{b}^{2}，0＜b＜3}\\{6-6b，b≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的单调性和最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，同时考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．