Question

已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=

π

3

，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有

OA

•

OB

=-2成立．
（3）设动点P满足

MP

=

OA

+

OB

，当a=-2，m变化时，求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2求得A，B的坐标，利用∠AOB=

π

3

可求曲线的方程；
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用

OA

•

OB

=-2可求；
（3）将条件

MP

=

OA

+

OB

转化为坐标的形式，从而可表达为关于m的函数，进而求m变化时，|OP|的取值范围

解答：解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2可得A(-

1 a

，1)，B(

1 a

，1)
∵∠AOB=

π

3

，∴tan300 =

1 a

，∴a=3
∴曲线C的方程为3x²+y²=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=-2
∴可有3a-1=0，∴a=

1

3

（3）由（2）知x1+x2=

2m

m2-2

，y1+y2=

4m2-4

m2-2

设P（x，y），则（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴x=

2m

m2-2

，y=

3m2-2

m2-2

∴|OP|=

9m4-8m2+4 m2-2

令m²-2=t（t≥-2），∴|OP|=

24 t2 + 28 t +9

≥

30

6

点评：本题的可得时直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查曲线方程的求解，考查直线与曲线方程联立解决位置关系问题，计算量大，由难度．