Question

5．求值：
（1）sin6°sin42°sin66°sin78°；
（2）$\frac{sin50°（1+\sqrt{3}tan10°）-cos20°}{cos80°\sqrt{1-cos20°}}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用诱导公式化简函数为余弦函数，然后利用二倍角的正弦函数求解即可．
（2）利用三角恒等变换，先将所求关系式中的“切”化“弦”，再通分化简，利用两角和的正弦与二倍角的正弦及升幂公式、诱导公式即可求得答案．

解答 解：（1）sin6°sin42°sin66°sin78°
=sin6°cos12°cos24°cos48°
=$\frac{{2}^{4}cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°}{{2}^{4}cos6°}$
=$\frac{8sin12°cos12°cos24°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{4sin24°cos24°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{2sin48°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{sin96°}{16cos6°}$
=$\frac{1}{16}$．
（2）原式=$\frac{sin50°（1+\sqrt{3}\frac{sin10°}{cos10°}）-cos20°}{cos80°\sqrt{1-cos20°}}$
=$\frac{sin50°\frac{2sin（10°+30°）}{cos10°}-cos20°}{cos80°\sqrt{2{sin}^{2}10°}}$
=$\frac{\frac{sin80°}{cos10°}-cos20°}{\sqrt{2}{sin}^{2}10°}$
=$\frac{1-（1-2{sin}^{2}10）}{\sqrt{2}{sin}^{2}10°}$
=$\sqrt{2}$．

点评 本题（l）考查诱导公式及二倍角的正弦函数公式，是一道中档题．此题的突破点是分子变形后给分子分母都乘以16cos6°以至于造成了一系列的连锁反应．（2）考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦与二倍角的正弦及升幂公式、诱导公式的综合运用，属于难题．