Question

（2006•宝山区二模）定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（　　）

A．（-∞，25]∪[1，+∞）

B．[-25，-24）∪（0，1]

C．[-25，0）∪（1，24）

D．[-25，1]

Answer 1

分析：由于关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，可得△=a²+24a＞0，解得a＞0或a＜-24．由x²-ax-6a=0解得．x1=

a- △

2

，x2=

a+ △

2

，可得不等式解集为（x₁，x₂），已知解集的区间长度不超过5个单位长x₂-x₁≤5，解得a，再利用交集运算即可得出．

解答：解：∵关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，∴△=a²+24a＞0，解得a＞0或a＜-24．
由x²-ax-6a=0解得．x1=

a- △

2

，x2=

a+ △

2

∵x₁＜x₂，∴不等式解集为（x₁，x₂），
∵解集的区间长度不超过5个单位长x₂-x₁≤5，解得-25≤a≤1，
∵a＞0或a＜-24，
∴-25≤a＜-24或0＜a≤1．
故选D．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法及其新定义是解题的关键．