Question

已知点P是直线l：ax+y=1上任意一点，直线l垂直于直线y=-x+m，EF是圆M：x²+（y-2）²=1的直径，则

PE

•

PF

的最小值为

-

1

2

．

Answer 1

分析：数形结合，由

PE

+

PF

=2

PM

，平方可得

PE

•

PF

=

4PM2-(PE2+PF2)

2

，△PEF中，由余弦定理可得 PE²+PF²=2

PE

•

PF

+4，综合可得

PE

•

PF

=PM²-1，由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为

|0-2+1|

2

=

2

2

，由此求得

PE

•

PF

的最小值．

解答：解：由两条直线垂直的性质可得-a×（-1）=-1，解得a=-1，
故直线l：ax+y=1，即 y=x+1．
如图所示：由题意可得M（0，2），EF=2 为直径．
由于

PE

+

PF

=2

PM

，平方可得

PE

2+

PF

2+2

PE

•

PF

=4

PM

2，
∴

PE

•

PF

=

4 PM 2-( PE 2+ PF 2)

2

=

4PM2-(PE2+PF2)

2

  ①．
△PEF中，由余弦定理可得 EF²=4=PE²+PF²-2PE•PFcos∠EPF
=PE²+PF²-2

PE

•

PF

，
∴PE²+PF²=2

PE

•

PF

+4  ②，
把②代入①可得

PE

•

PF

=

4PM2-2 PE • PF -4

2

=2PM²-

PE

•

PF

-2，
∴2

PE

•

PF

=2 PM²-2，即

PE

•

PF

=PM²-1，故当PM最小时，

PE

•

PF

取得最小值．
由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为

|0-2+1|

2

=

2

2

，
故

PE

•

PF

的最小值为 PM²-1=

1

2

-1=-

1

2

．
故答案为-

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，直线和圆相交的性质，余弦定理的应用，属于中档题．