Question

在平面直角坐标系xOy 中，设A （1，2 ），B （ 4，5 ），

OP

=m

OA

+

AB

（m∈R）．
（1）求m的值，使得点P在函数y=x²+x-3的图象上；
（2）以O，A，B，P为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据向量的加减法则与坐标运算法则，结合题中数据算出P点坐标为（m+3，2m+3）．将点P坐标代入函数y=x²+x-3，得到关于m的二次方程，解之即可得到m的值；
（2）根据平行四边形的判定与向量加法的平行四边形法则，分

OP

=

AB

、

OP

=

BA

与

OP

=

OA

+

OB

三种情况加以讨论，分别建立关于m的等式并解出m的值，可得答案．

解答：解：∵A （1，2 ），B （ 4，5 ），
∴

AB

=（3，3），
由此可得

OP

=m

OA

+

AB

=m（1，2 ）+（3，3）=（m+3，2m+3），
设P（x，y），可得

x=m+3 y=2m+3

，
即P（m+3，2m+3）．
（1）若点P在函数y=x²+x-3的图象上，
则2m+3=（m+3）²+（m+3）-3，
化简得m²+5m+6=0，
解得m=-2、m=-3．
因此存在m=-2或-3，使得点P在函数y=x²+x-3的图象上；
（2）若以O、A、B、P为顶点的四边形构成平行四边形，
①四边形OABP为平行四边形，则

OP

=

AB

，
即（m+3，2m+3）=（3，3），
解得m=0；
②四边形OBAP为平行四边形，则

OP

=

BA

，
即（m+3，2m+3）=（-3，-3），找不出符合题意的m值；
③四边形OAPB为平行四边形，则

OP

=

OA

+

OB

，
即（m+3，2m+3）=（1，2 ）+（ 4，5 ）=（5，7），
解得m=2．
综上所述，可得存在m=0或2，使得以O、A、B、P为顶点的四边形构成平行四边形．

点评：本题给出A、B两点坐标与向量式

OP

=m

OA

+

AB

，讨论以O、P、A、B为顶点的四边形能否为平行四边形．着重考查了平面向量的加减法则、向量的坐标运算法则与平行四边形的判定与性质等知识，属于中档题．