Question

18．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为$\frac{64π}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意得到该几何体有一个侧面PAC垂直于底面，高为2$\sqrt{3}$，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图所示，这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，求出外接球的半径，即可确定出表面积．

解答 解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为2$\sqrt{3}$，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图所示，
∴这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，
∴这个几何体的外接球的半径R=$\frac{2}{3}$PD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则几何体的外接球的表面积为4πR²=$\frac{64π}{3}$．
故答案为：$\frac{64π}{3}$

点评 此题考查了由三视图求面积、体积，根据三视图正确画出几何体是解本题的关键．