Question

已知函数（x∈R），且．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由求出m的值，得到函数f（x）的解析式．任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，根据题意脱去函数符号“f“，转化为关于x的分式不等式，解之即得．
解答：解：（1）由已知得，m³=8，∴m=2…（3分）
∴==
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂则==
∵，∴
又∵x₂＞x₁，∴，∴
∴，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数．                       …（9分）
（2）∵，由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴，
化简得，
∴…（14分）（不写集合形式不扣分）
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．