Question

2．已知函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过$h'（x）=2-\frac{a^2}{x^2}+\frac{1}{x}$、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得$a=\sqrt{3}$，再检验即可；  
（2）通过分析已知条件等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max．结合当x∈[1，e]时及$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$可知[g（x）]_max=g（e）=e+1．
利用$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，
∴$h（x）=2x+\frac{a^2}{x}+lnx$，其定义域为（0，+∞），
∴$h'（x）=2-\frac{a^2}{x^2}+\frac{1}{x}$．        
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h′（1）=0，即3-a²=0．
∵a＞0，∴$a=\sqrt{3}$．                                         
经检验当$a=\sqrt{3}$时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴$a=\sqrt{3}$；
（2）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立等价于
对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max．
当x∈[1，e]时，$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．
∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＞0$，
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是增函数，
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（1）=1+{a^2}$．
由1+a²≥e+1，得a≥$\sqrt{e}$，
又0＜a＜1，∴a不合题意；
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
若a＜x≤e，则$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＞0$．
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]_min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥$\frac{e+1}{2}$，
又1≤a≤e，∴$\frac{e+1}{2}$≤a≤e；
③当a＞e且x∈[1，e]时，$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是减函数．
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（e）=e+\frac{a^2}{e}$．
由$e+\frac{a^2}{e}$≥e+1，得a≥$\sqrt{e}$，
又a＞e，∴a＞e；
综上所述：a的取值范围为$[{\frac{e+1}{2}，+∞}）$．

点评 本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．