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11.已知圆B:(x-1)2+(y-1)2=2,过原点O作两条不同的直线l1,l2与圆B分别交于P,Q.
(1)过圆心B作BA⊥OP,BC⊥OQ,垂足分别为点A,C,求过四点O,A,B,C的圆E的方程,并判断圆B与圆E的位置关系;
(2)若l1与l2的倾斜角互补,试用l1的倾斜角α表示△OPQ的面积,并求其最大值.

分析 (1)求出圆心坐标与半径,可得圆E的方程,即可得出结论;
(2)求出直线与圆相交的弦长,可得面积,利用三角函数知识得出结论.

解答 解:(1)过四点O,A,B,C的圆E的方程是以OB为直径的圆,圆E的圆心为($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴圆E的方程为:(x-$\frac{1}{2}$)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{2}$.
∵圆心距=$\sqrt{(1-\frac{1}{2})^{2}+(1-\frac{1}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴圆B与圆E相内切;
(2)设l1的方程为y=xtanα,圆心B(1,1)到直线l1的距离d=$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$,
直线l1与圆相交的弦长m=$\frac{2|tanα+1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$,
以-tanα代替tanα,可得直线l2与圆相交的弦长n=2$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$,
∴S△OPQ=$\frac{1}{2}mn|sin2α|$=2|$\frac{ta{n}^{2}α-1}{ta{n}^{2}α+1}$||sin2α|=|sin4α|≤1,
当且仅当α=$\frac{π}{8}$,$\frac{3π}{8}$,$\frac{5π}{8}$,$\frac{7π}{8}$时等号成立,故最大值为1.

点评 本题考查直线方程,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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