Question

已知f（x）=lg（x²-mx+2m-1），m∈R
（Ⅰ）当m=0时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的值域是[lg2，+∞），求m的值；
（Ⅲ）若x∈[0，1]时不等式f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用复合函数的单调性去求函数的增区间．（Ⅱ）利用函数的值域是[lg2，+∞），确定m的数值．
（Ⅲ）不等式f（x）＞0恒成立，实质是求当x∈[0，1]时，函数f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）当m=0时，f（x）=lg（x²-1），设t=x²-1，
当x∈（1，+∞）时，t=x²-1递增，而当t＞0时，y=lgt递增
所以f（x）的递增区间是（1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）因为函数f（x）的值域是[lg2，+∞），依题意得t=x²-mx+2m-1的最小值是2，
解-

m2

4

+2m-1=2得m=2或m=6…（8分）
（Ⅲ）法一：当x∈[0，1]时，将x²-mx+2m-2＞0分离变量后得到

x2-2

x-2

＜m
令g(x)=

x2-2

x-2

，则g′(x)=

x2-4x+2

(x-2)2

，
令g′（x）=0得x=2±

2

…（11分）∴当0＜x＜2-

2

时g′（x）＞0，当2-

2

＜x＜1时g′（x）＜0
而x=2-

2

时取得最大值4-2

2

，∴m＞4-2

2

…（14分）
法二：依题意得：x²-mx+2m-2＞0，令h（x）=x²-mx+2m-2，轴是x=

m

2

（1）当

m

2

≤0时，则有f（0）=2m-2＞0，解得m∈Φ；
（2）当0＜

m

2

≤1时，则有△=m²-8m+8＞0，解得4-2

2

＜m≤2；
（3）当1＜

m

2

时，则有f（1）=m-1＞0，解得m＞2
综上所求，实数m的取值范围是（4-2

2

，+∞）
法三：将x²-mx+2m-2＞0移项得x²＞mx-2m+2，设f1(x)=x2，f₂（x）=mx-2m+2，
则f₁（x）、f₂（x）的图象分别为右图所示的一段抛物线和直线，要使对一切x∈[0，1]，f₁（x）＞f₂（x）恒成立，即要使得x∈[0，1]时，抛物线
段总在直线段的上方，因为直线恒过定点（2，2），可观察
图象得：直线的斜率必须大于相切时的斜率值，而相
切时的斜率可用判别式或导数易求得为4-2

2

，
所以m＞4-2

2

．…（14分）

点评：本题考查了与对数函数有关的复合函数的性质，对应复合函数可以通过换元法来进行转化．