Question

【题目】已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．
（1）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；
（2）设f（x）的最大值和最小值分别为M和m，求证：M+m＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]内有两个不同的零点，

即有 即为 ，

解得1≤b＜2或2＜b≤3

（2）证明：f（x）的对称轴为x= ，

当 ＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b﹣a，

m=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；

当 ＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，

M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0；

当0≤ ≤1时，区间[0， ]为减区间，[ ，1]为增区间，

可得m=f（ ）= ，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，

M+m= ≥ =a＞0；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，

M+m= = ，

由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．

综上可得M+m＞0恒成立

【解析】（1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜ ＜1，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明M+m＞0．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．