Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DC=2，DD1=

3

，E是C₁D₁的中点，F是CE的中点．
（1）求证：EA∥平面BDF；
（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；
（3）求二面角D-EB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，欲证EA∥平面BDF，在平面BDF内寻找一直线与直线EA平行即可，而OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE?平面BDF，OF?平面BDF，满足定理条件；
（2）欲证平面BDF⊥平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF?平面BDF，从而得到结论；
（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE中的射影为FG，则∠DGF即为二面角D-EB-C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．

解答：解：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，
又AE?平面BDF，OF?平面BDF，所以EA∥平面BDF（4分）；
（2）计算可得DE=DC=2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE
又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC，又BC∩CE=C，所以DF⊥平面BCE
又DF?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE（理）（8分）；
（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二面角D-EB-C的平面角，设其大小为θ，计算得DF=

3

，FG=

2

2

，tanθ=

DF

FG

=

6

（12分）

点评：考查线面平行的判定以及线面角的求法，利用线面垂直证线线垂直，求二角角，本题考查的是立几中的重点知识，基本技能．