Question

（2013•楚雄州模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=

5

5

，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

Answer 1

分析：（1）由已知中椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=

5

5

，根据e=

c

a

，b=4，a²=b²+c²可求出椭圆的标准方程，进而求直线l的方程及弦长公式，得到弦MN的长；
（2）设线段MN的中点为Q（x₀，y₀），结合（1）中结论，及△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，由重心坐标公式，可得Q点坐标，由中点公式及M，N也在椭圆上，求出MN的斜率，可得直线l方程．

解答：解：（1）由已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），
∴b=4，
又∵离心率e=

c

a

=

5

5

，
即

c2

a2

=

1

5

，
∴

a2-b2

a2

=

1

5

，解得a²=20，
∴椭圆方程为

x2

20

+

y2

16

=1； …（3分）
由4x²+5y²=80与y=x-4联立，
消去y得9x²-40x=0，
∴x₁=0，x2=

40

9

，
∴所求弦长|MN|=

1+12

|x2-x1|=

40 2

9

；            …（6分）
（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），
设线段MN的中点为Q（x₀，y₀），
由三角形重心的性质知

BF

=2

FQ

，又B（0，4），
∴（2．-4）=2（x₀-2，y₀），
故得x₀=3，y₀=-2，
求得Q的坐标为（3，-2）；                               …（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，
且

x 2 1

20

+

y 2 1

16

=1，

x 2 2

20

+

y 2 2

16

=1，…（11分）
以上两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

20

+

(y1+y2)(y1-y2)

16

=0，
∴kMN=

y1-y2

x1-x2

=-

4

5

•

x1+x2

y1+y2

=-

4

5

•

6

-4

=

6

5

，
故直线MN的方程为y+2=

6

5

(x-3)，即6x-5y-28=0．   …（13分）

点评：本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥曲线，熟练掌握椭圆的简单性质是重心坐标，中点公式等基本公式，是解答的关键．