Question

已知定点A（0，-1），点B在圆F：x²+（y-1）²=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（I）求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x²-2ax+y²+a²=1被轨迹E包围着，求实数a的最小值．
（II）已知M（-2，0）、N（2，0），动点G在圆F内，且满足|MG|•|NG|=|OG|²，求

MG

•

NG

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根据椭圆的定义可求得动点P的轨迹E的方程；根据椭圆的几何性质（有界性），可求得实数a的最小值；
（II）设G（x，y），并代入|MG|•|NG|=|OG|²，得到关于x，y的一个方程，点G在圆F：x²+（y-1）²=16内，得到关于x，y的一个不等式，可求得y的取值范围，把点G的坐标代入

MG

•

NG

中，利用不等式的基本性质分析即可求得结果．

解答：解：（I）由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
则2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴点p的轨迹方程为

y2

4

+

x2

3

=1
曲线Q：x²-2ax+y²+a²=1化为（x-a）²+y²=1，
则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆．
而轨迹E：

y2

4

+

x2

3

=1为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为(-

3

，0)，(

3

，0)
结合它们的图象知：若曲线Q被轨迹E包围着，则-

3

+1≤a≤

3

-1
∴a的最小值为-

3

+1；
（II）设G（x，y），由|MG|•|NG|=|OG|²
得：

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
化简得x²-y²=2，即x²=y²+2
而

MG

•

NG

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²+y²-4=2（y²-1）．
∵点G在圆F内：x²+（y-1）²=16内，∴x²+（y-1）²＜16
又G满足x²=y²+2
∴y²+2+（y-1）²＜16?

2-6 3

4

＜y＜

2+6 3

4

?0≤y²＜

14+3 3

2

，
∴-2≤2（y²-1）＜12+3

3

，
∴

MG

•

NG

的取值范围为[-2，12+3

3

）．

点评：此题是个难题．考查椭圆的定义和几何性质，以及点圆位置关系和向量的数量积的坐标运算，综合性较强，特别是问题（II）的设置，转化为求最值问题，增加题目的难度．