Question

（08年丰台区统一练习一理）（13分）

已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，

E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC

沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）.

(Ⅰ) 试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(Ⅱ) 求二面角B-AC-D的大小；                                 

(Ⅲ) 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.

 

Answer 1

解析：(Ⅰ) AB∥平面DEF. 在△ABC中，

∵ E、F分别是AC、BC上的点，且满足，

∴ AB∥EF.                                              

∵ AB平面DEF，EF平面DEF，∴ AB∥平面DEF. …………… 3分    

(Ⅱ)过D点作DG⊥AC于G，连结BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,

∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.

∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.

∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.

∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .

∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角. ……………………………… 5分

在ADC中，AD=a,  DC=, AC=2a,

∴ .

在Rt△BDG中，.

∴ .

即二面角B-AC-D的大小为.………………………………… 8分

 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.… 9分

∵ ，∴ .

又DC=, ，

∴

     

  ………………… 11分

∴ .

∴ .  解得 .…………………… 13分