Question

已知数列{a_n}中，a₂=a（a为非零常数），其前n项和S_n满足：S_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=2，且，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{a_n}中满足a_n+b≤p的最大项恰为第3p-2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得a₁=S₁==0，∴S_n=，
则有S_n+1=，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即（n-1）a_n+1=na_n n∈N*，
∴na_n+2=（n+1）a_n+1，
两式相减得，2a_n+1=a_n+2+a_n n∈N*，
即a_n+1-a_n+1=a_n+1-a_n n∈N*，
故数列{a_n}是等差数列．
又a₁=0，a₂=a，∴a_n=（n-1）a．
（2）若a=2，则a_n=2（n-1），∴S_n=n（n-1）．
由，得n²-n+11=（m-1）²，即4（m-1）²-（2n-1）²=43，
∴（2m+2n-3）（2m-2n-1）=43．
∵43是质数，2m+2n-3＞2m-2n-1，2m+2n-3＞0，
∴，解得m=12，n=11．
（3）由a_n+b≤p，得a（n-1）+b≤p．
若a＜0，则n≥+1，不合题意，舍去；
若a＞0，则n≤+1．∵不等式a_n+b≤p成立的最大正整数解为3p-2，
∴3p-2≤+1＜3p-1，
即2a-b＜（3a-1）p≤3a-b，对任意正整数p都成立．
∴3a-1=0，解得a=，
此时，-b＜0≤1-b，解得＜b≤1．
故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，＜b≤1．
分析：（1）利用数列的项与前n项和的关系，将条件转化为数列的项之间的关系，判定数列为特征数列，再求通项公式；
（2）利用（1）的结论，求出m、n满足的关系，分析求解即可；
（3）根据条件a_n+b≤p求出n满足的条件，再根据满足a_n+b≤p的最大项始终为3P-2，转化为不等式的恒成立问题，分析求解即可．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，数列的项与前n项和之间的关系及数列的综合问题．