Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x．
（I）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，函数f（x）在x=0处取得最小值，求正数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+都成立．

Answer 1

解：（I）∵函数f（x）=ln（x+a）-x²-x，
∴，
f′（0）=0，
即，
∴a=1．
（Ⅱ）
=，
令f′（x）=0，即2x²+（2a+1）x+a-1=0，（*）
∵△=（2a+1）²-8（a-1）
=4a²-4a+9＞0，
设方程（*）两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由于a＞0，则，，
当a＞1时，x₁x₂＞0，x₁＜x₂＜0，
函数f（x）在x∈[0，1]上递减，此时f（x）的最小值为f（1），不满足题意．
当0＜a＜1时，x₁x₂＜0，x₁＜0＜x₂，
设g（x）=2x²+（2a+1）x+a-1，
∵g（0）=a-1＜0，g（1）=3a+2＞0，
∴x₁＜0＜x₂＜1，
函数f（x）在x∈[0，x₂]递增，在x∈[x₂，1]递减．
∵f（x）在x=0处取得最小值，
∴f（0）≤f（1）．
即lna≤ln（a+1）-2，
∴．
综上所述，正数a的取值范围是．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，，
f（x）在（-1，0）上递增，在（0，+∞）上递减，
此时，f（x）=ln（x+1）-x²-x≤f（0）=0，
即，
＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1），
∴2+．
分析：（I）由，f′（0）=0，知，由此能求出a．
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得2x²+（2a+1）x+a-1=0，所以4a²-4a+9＞0，设方程两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，由于a＞0，则，，由此入手能求出正数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，，f（x）在（-1，0）上递增，在（0，+∞）上递减，此时，，由此能够证明2+．
点评：本题考查求实数a的值，求正数a的取值范围，证明：对任意的正整数n，不等式2+都成立．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．