Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n项和为S_n，且当n≥2时，．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a=4，令，记数列{b_n}的前n项和为T_n．设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n=s_n-s_n-1得：=-化简得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）得到数列{S_n}是等比数列；（Ⅱ）由（1）得等比数列{S_n}的首项为1，公比为a，求出s_n，利用a_n=s_n-s_n-1得到即可；
（Ⅲ）根据a=4，令，化简得到b_n的通项，并表示出前n项和公式T_n，代入到等式中求出n和相应的λ值．
解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，，
化简得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），
又由S₁=1≠0，S₂=a≠0，可推知对一切正整数n均有S_n≠0，
∴数列{S_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{S_n}的首项为1，公比为a，
∴S_n=a^n-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a-1）a^n-2，
又a₁=S₁=1，
∴
（Ⅲ）当a=4，n≥2时，a_n=3×4^n-2，
此时=，
又，
∴，
当n≥2时，
=．
若n=1，则等式为，不是整数，不符合题意．
若n≥2，则等式为，
∵λ是整数，∴4^n-1+1是5的因数．
∴当且仅当n=2时，是整数，∴λ=4
综上所述，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式成立．
点评：考查学生利用等比数列求和公式的能力，数列求和公式的运用能力．