Question

如图，已知PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，且BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的大小；
（Ⅲ）在线段PE上是否存在一点M，使DM∥平面PBC，若存在求出点M；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意及图形建立空间直角坐标系，写出个点的坐标，利用线面垂直的判定定理进行求证；
（II）由题意及（I）利用平面的法向量所称夹角与二面角平面角的大小关系求出二面角的大小；
（III）假设在线段PE上存在一点M，使DM∥平面PBC，利用向量的知识建立未知量的方程进，进而求解．

解答：证明：（Ⅰ）连接DO，BO∥CD且BO=CD，则四边形BODC是平行四边形，
故BC∥OD，又BC⊥AB，则BO⊥OD，因为PO⊥平面ABCD，
可知OD、OB、OP两两垂直，分别以OD、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
设AO=1，则B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，-1，1），P（0，0，2），
则

PE

=(0，-1，-1)，

PB

=(0，2，-2)，

BC

=(2，0，0)．
则

PE

•

PB

=0，

PE

•

BC

=0，故PE⊥PB，PE⊥BC，又PB∩BC=B，
∴PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PBC的一个法向量

n1

=

PE

=(0，-1，-1)，设面PBD的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，

PB

=(0，2，-2)，

BD

=(2，-2，0)，
由

n2 • PB =0 n2 • BD =0

得

2y-2z=0 2x-2y=0

取

n2

=(1，1，1)，
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2

2 • 3

=-

6

3

，
故二面角C-PB-D的大小为arccos

6

3

．
（Ⅲ）存在满足条件的点M．
由（Ⅰ）可知，向量

PE

是平面PBC的一个法向量，
若在线段PE上存在一点M，使DM∥平面PBC，设

PM

=λ

PE

，
则

DM

=

DP

+

PM

=(-2，0，2)+λ(0，-1，-1)=(-2，-λ，2-λ)，由

DM

•

PE

=0，
得λ-（2-λ）=0，∴λ=1，即M点与线段PE的端点E重合．

点评：此题重点考查了建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的知识证明可线面垂直，利用空间向量的知识求解二面角的大小．还考查了利用向量的知识及方程的思想求解问题．