Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n+1=a_na_n+1，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n．

Answer 1

证明：（1）由a_n-a_n+1=a_na_n+1，
从而得（3分）
∵a₁=1
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．（5分）
（2）∵则，∴（7分）
∴T_n=S_2n-S_n=
=（9分）
∵，
==，
∴T_n+1＞T_n．（12分）
分析：（1）由a_n-a_n+1=a_na_n+1，从而得，根据等差数列的定义，可以证明数列为等差数列；
（2）由（1）可求出a_n的通项公式，求出数列{a_n}的前n项和为S_n，利用作差法进行证明．
点评：此题主要考查了等差数列的性质及其应用，第二问利用作差法进行证明，这也是最基本的证明方法，我们要熟练掌握，此题是一道中档题．