Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若P 是椭圆上的一点，|

PF1

|+|

PF2

|=4，离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由|

PF1

|+|

PF2

|=4，结合椭圆定义可求a，由离心率e=

3

2

可求c，然后求出b即可求解椭圆C的方程
（2）由（1）的条件先表示

PF1

•

PF2

，然后结合椭圆方程及二次函数的性质可求
（3）由题意可设直线y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程可得x₁+x₂，x₁x₂，然后可求
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2），由△=16k2-12(k2+

1

4

)＞0及

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0可求k的范围

解答：解：（1）∵|

PF1

|+|

PF2

|=4，离心率e=

3

2

∴2a=4，e=

c

a

=

3

2

∴a=2，c=

3

∴b²=1
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（2）由（1）可得F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
∴

PF1

=(-

3

-x，-y)，

PF2

=(

3

-x，-y)
∴

PF1

•

PF2

=（-

3

-x）（

3

-x）+（-y）（-y）
=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

-3
=

1

4

(3x2-8)=-

5

4

∵x＞0
∴x=1
∵y＞0
∴y=

3

2

，故P（1，

3

2

）
（3）显然直线x=0不满足题设，可设直线y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

整理可得，（k2+

1

4

）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

3

k2+ 1 4

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

1-k2

k2+ 1 4

由△=16k2-12(k2+

1

4

)＞0可得，k＞

3

2

或k＜-

3

2

∵∠AOB为锐角
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
∴

1-k2

k2+ 1 4

+

3

k2+ 1 4

＞0
∴-2＜k＜2
综上可得，

3

2

＜k＜2或-2＜k＜-

3

2

点评：本题主要考查了由椭圆性质求解椭圆的方程，向量的数量积的坐标表示，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线的综合应用．