已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来,求|F1A|·|F1B|的最小值
设A(x1,y1),B(x2,y2),A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离
d=|x1+|=x1+,由双曲线的定义,=e=,∴|AF1|=(x1+)=x1+2,
同理,|BF1|=x2+2,∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)
双曲线的右焦点为F2(,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为:y=k(x─),
由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,
∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得
|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+
∴|F1A|·|F1B|>;
(2)当直线AB垂直于x轴时,容易算出|AF2|=|BF2|=,
∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|=
由(1), (2)得:当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值
点拨与提示:由双曲线的定义得:|AF1|=(x1+)=x1+2,|BF1|=x2+2,
|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 ,将直线方程和双曲线的方程联立消元,得x1+x2=, x1x2= ─.本题要注意斜率不存在的情况.
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
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A、
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B、
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C、
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D、2+
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