Question

设函数f(x)=

-1(x＜0) x2-1(0≤x≤1) x+3(x＞1)

（1）求f（x）在x=0处的左右极限，并判断f（x）在x=0处是否有极限，是否连续；
（2）判断f（x）在x=1、x=2是否连续．

Answer 1

分析：（1）由题设条件能够推出

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=-1，再由f（0）=-1，知f（x）在x=0处有极限且连续．
（2）由题设能推出

lim

x→1+

f(x)≠

lim

x→1-

f(x)，即f（x）在x=1处极限不存在，也不连续；x=2在f（x）的连续区间（1，+∞）内，故f（x）在x=2处是连续的．

解答：解：（1）∵

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0+

(x2-1)=-1，

lim

x→0-

f(x)=

lim

x→0-

(-1)=-1，

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=-1，
又f（0）=0²-1=-1．
∴f（x）在x=0处有极限且连续．

（2）

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

(x+3)=4，

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(x2-1)=0，
∴

lim

x→1+

f(x)≠

lim

x→1-

f(x)，即f（x）在x=1处极限不存在，也不连续；
   x=2在f（x）的连续区间（1，+∞）内，
故f（x）在x=2处是连续的．

点评：本题考查函数的连续性，解题时要注意函数连续的基本条件和基本性质，合理地运用函数连续的充要条件解题．