如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1) 证明:BD⊥平面PAC;
(2) 若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.
(1)见解析;(2).
解析试题分析:(1)先利用直线与平面垂直的性质定理,得到 和 ,因为 ,所以利用直线与平面垂直的判定定理可知, ;(2)首先分别以射线,,为轴,轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系,由直线与平面垂直的性质定理得到,那么矩形为正方形,由此可知此正方形的边的长度,根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标,分别求出平面和平面的法向量的坐标,根据二面角与其法向量夹角的关系,求得二面角的余弦值,再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值.
试题解析:(1)证明 ∵,,∴.2分
同理由,可证得.
又,∴. 4分
(2)如图,分别以射线,,为轴,轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系.
由(1)知,又, ∴.
故矩形为正方形,∴. 6分
∴.
∴.
设平面的一个法向量为,则,即,
∴,取,得.
∵,∴为平面的一个法向量.10分
所以. 11分
设二面角的平面角为,由图知,,所以.
∴ 所以,即二面角的正切值为. 12分
考点:1.直线与平面垂直的判定定理;2.直线与平面垂直的性质定理;3.平面和平面所成的角(二面角);4.勾股定理;5.同角三角函数的基本关系;6.平面的法向量
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如图所示,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面ABCD,AB∥A1B1,AB=2A1B1=2DD1=2a.
(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值;
(2)已知F是AD的中点,求证:FB1⊥平面BCC1B1.
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如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将△AOD折起,使DB=.
(1)求证:平面AOD⊥平面ABCO;
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.
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在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∠ABC=60°,N是BC的中点,将梯形ABCD绕AB旋转90°,得到梯形ABC′D′(如图).
(1)求证:AC⊥平面ABC′;
(2)求证:C′N∥平面ADD′;
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值.
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如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.
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如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面,,.
(Ⅰ)若点是的中点,求证:平面;
(II)试问点在线段上什么位置时,二面角的余弦值为.
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如图,四棱锥P—ABCD中,为边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,且平面PAB⊥平面ABCD,,E为PD点上一点,满足
(1)证明:平面ACE平面ABCD;
(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小.
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在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
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