Question

已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），且当x≤1时，f（x）=|1-a^x|（a＞1），又数列{a_n}中，a1=

1

3

，a2=

3

2

，a3=

2

3

，且a_n+3=a_n，n∈N^*，则有（　　）

A．f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₁）

B．f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）

C．f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）

D．f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₁₁）

Answer 1

分析：先根据数列的周期性，分别计算a₂₀₁₀，a₂₀₀₉，a₂₀₁₁的值，并利用函数的对称性将三个值化到同一区间（0，1）上，再利用函数图象得函数f（x）在（0，1）上的单调性，利用单调性比较大小即可

解答：解：∵a_n+3=a_n，∴数列{a_n}为周期为3的周期数列，∴a₂₀₁₀=a_3×670=a3=

2

3

，a₂₀₀₉=a2=

3

2

，a₂₀₁₁=a1=

1

3

∴f（a₂₀₁₁）=f（

1

3

），f（a₂₀₀₉）=f（

3

2

）=f（2-

1

2

）=f（

1

2

），f（a₂₀₁₀）=f（

2

3

）
∵f（x）=f（2-x），∴函数f（x）的图象关于x=1对称，又∵当x≤1时，f（x）=|1-a^x|（a＞1），故函数f（x）的图象如图：
函数f（x）在（0，1）上为增函数，
∵

1

3

＜

1

2

＜

2

3

，∴f（

1

3

）＜f（

1

2

）＜f（

2

3

）
即f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）
故选 B

点评：本题考查了函数的对称性，函数的单调性，指数函数的图象和性质，数列的周期性，及里用单调性比较大小的方法