Question

已知圆C：x²+y²-6x-4y+4=0，直线l₁被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．
（1）求直线l₁的方程；
（2）若直线l₂：x+y+b=0与圆C相交于两个不同的点，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将圆C方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据垂径定理得到直线CP与直线l₁垂直，根据直线CP的斜率求出直线l₁的斜率，确定出直线l₁的方程即可；
（2）联立圆的方程与直线l₂方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆相交于不同的两个点，得到方程有两个不相等的实数根，即根的判别式大于0，即可求出b的范围．
解答：解：（1）由圆C：x²+y²-6x-4y+4=0，得（x-3）²+（y-2）²=9，
∴圆心C（3，2），半径为3，
由垂径定理知：直线l₁⊥直线CP，
∵直线CP的斜率k_CP==，
∴直线l₁的斜率k_l1=-=-2，
则直线l₁的方程为y-3=-2（x-5），即2x+y-13=0；
（2）由题意知方程组有两组解，
由方程组消去y得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0，该方程应有两个不同的解，
∴△=[2（b-1）]²-8（b²+4b+4）＞0，化简得b²+10b+7＜0，
由b²+10b+7=0，解得：b=-5±3，
∴b²+10b+7＜0解得：-5-3＜b＜-5+3，
则b的取值范围是（-5-3，-5+3）．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．