Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x+1）＞0对任意x≥0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是奇函数，

∴f（﹣x）= = =﹣f（x）= ，

∴a=1

（2）解：判断：f（x）在R上为减函数

证明：由（1）得f（x）= = =﹣1+ ，

任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣1+ +1﹣ =

∵x1＜x2，∴ ﹣ ＞0， +1＞0， +1＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上为减函数

（3）解：∵f（k3x）+f（3x﹣9x+1）＞0，

∴f（k3x）＞﹣f（3x﹣9x+1），

∵f（x）是奇函数，

∴f（k3x）＞f（9x﹣3x﹣1），

∵f（x）在R上为减函数，

∴k3x＜9x﹣3x﹣1

令t=3x，∵x≥0，∴t≥1，

∴kt＜t2﹣t﹣1在对任意t≥1恒成立，

∴k＜t﹣ ﹣1在对任意t≥1恒成立

令h（t）=t﹣ ﹣1，g（t）在[1，+∞）为增函数，

∴g（t）min=g（1）=﹣1，

∴k＜﹣1．

【解析】（1）根据奇函数的定义求实数a的值；（2）根据：函数定义域内的任意x1＜x2，则f（x1）>f（x2），则函数为单调减函数来解题；（3）根据函数的奇偶性及单调性，将函数值的不等式变为自变量的不等式，再利用换元法化简不等式，最终求得k的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．