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18.在直角坐标系下,直线l经过点P(-1,2),倾斜角为α,以原点为极点,x轴的正向为极轴,建立极坐标系,在此极坐标系下,曲线C:ρ=-2cosθ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B(A,B也可能重合),求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值.

分析 (1)由直线l经过点P(-1,2),倾斜角为α,能求出直线l的参数方程,由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,能求出曲线C的直角坐标系方程.
(2)将l的参数方程代入(x+1)2+y2=1,得到根的判别式和韦达定理能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值.

解答 解:(1)∵在直角坐标系下,直线l经过点P(-1,2),倾斜角为α,
∴直线l的参数方程$l:\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$,
∵曲线C:ρ=-2cosθ,即ρ2=-2ρcosθ,
∴曲线C的直角坐标系方程x2+y2=-2x,即:(x+1)2+y2=1.…5分
(2)将l的参数方程$l:\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$代入(x+1)2+y2=1,
得:(tcosα)2+(2+tsinα)2=1
整理t2+4tsinα+3=0,
$△=16{sin^2}α-12≥0⇒|{sinα}|≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}||{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{4|{sinα}|}}{3}≥\frac{2}{3}\sqrt{3}$.…10分

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标系方程的求法,考查$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用.

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