Question

长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，AA₁=4，
（1）说出BD₁与平面ABCD所成角，并求出它的正切值；
（2）指出 二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求证：AC⊥BD₁．

Answer 1

分析：（1）由长方体的几何特征，我们易得∠D₁BD即为BD₁与平面ABCD所成角，解Rt△D₁BD即可求出BD₁与平面ABCD所成角的正切值；
（2）连接BD，交AC于O，易得∠D₁OD为二面角D₁-AC-D的平面角，解Rt△D₁OD即可求出二面角D₁-AC-D的平面角的正切值；
（3）由长方体的几何特征，可得DD₁⊥AC，DB⊥AC，由线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥面BDD₁，再由线面垂直的性质，即可得到AC⊥BD₁．

解答：解：（1）BD₁与平面ABCD所成角为∠D₁BD，（1分）
在Rt△D₁BD中，DD₁=4，BD=2

2

，tan∠D1BD=

4

2 2

=

2

（3分）
（2）连接BD，交AC于O，∠D₁OD为二面角D₁-AC-D的平面角，
在Rt△D₁OD中，DD₁=4，OD=

2

，tan∠D1OD=

4

2

=2

2

（6分）
（3）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴DD₁⊥面ABCD，∴DD₁⊥AC
正方形ABCD中，DB⊥AC
DD₁∩DB=D
∴AC⊥面BDD₁，
∴AC⊥BD₁，（8分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，熟练掌握长方体的几何特征，进而分析出BD₁与平面ABCD所成角的平面角，分析出二面角D₁-AC-D的平面角，将空间线面夹角及二面角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．