Question

20．已知曲线C的方程kx²-（4-k）y²=k-1
（1）若曲线C是双曲线，且一条渐进线是y=$\sqrt{3}$x求双曲线方程；
（2）当k=-2时，在曲线C上是否存在关于直线l：y=x+m对称的两P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）若存在求m的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）当k=0或k=1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{k-1}{k}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{k-1}{4-k}}=1$，由此能求出曲线C是双曲线，且一条渐进线是y=$\sqrt{3}$x的双曲线方程；
（2）当k=-2时，曲线C的方程为$\frac{2{x}^{2}}{3}+2{y}^{2}=1$．设曲线C上存在关于直线l：y=x+m对称的两P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再设P、Q的中点是M（x₀，y₀），由点差法结合PQ中点M在直线l上求出M的坐标，再由点M在椭圆内部求得m的取值范围．

解答 解：（1）当k=0或k=4或k=1时，C表示直线；
当k≠0且k≠1且k≠4时方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{k-1}{k}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{k-1}{4-k}}=1$，①
方程①表示双曲线，且一条渐进线是y=$\sqrt{3}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{k}＞0}\\{\frac{k-1}{4-k}＞0}\\{\frac{k}{4-k}=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{4-k}＜0}\\{\frac{k-1}{k}＜0}\\{\frac{k}{4-k}=3}\end{array}\right.$．
解得：k=3．
∴双曲线方程为$\frac{3{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当k=-2时，曲线C的方程为$\frac{2{x}^{2}}{3}+2{y}^{2}=1$．
设曲线C上存在关于直线l：y=x+m对称的两P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
再设P、Q的中点是M（x₀，y₀），
则$\frac{2{{x}_{1}}^{2}}{3}+2{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{2{{x}_{2}}^{2}}{3}+2{{y}_{2}}^{2}=1$，
两式作差可得x₀=3y₀，
又M（x₀，y₀）在直线l上，∴y₀=x₀+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3{y}_{0}}\\{{y}_{0}={x}_{0}+m}\end{array}\right.$，解得M（$-\frac{3m}{2}，-\frac{m}{2}$），
由M在椭圆$\frac{2{x}^{2}}{3}+2{y}^{2}=1$内部．
可得$\frac{2（-\frac{3m}{2}）^{2}}{3}+2（-\frac{m}{2}）^{2}＜1$，
解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}＜m＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴曲线C上是存在关于直线l：y=x+m对称的两P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
此时m的取值范围是（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．