Question

1．若双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的两条渐近线恰好是曲线$y=a{x^2}+\frac{1}{3}$的两条切线，则a的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 先求出双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的两条渐近线方程，再与抛物线方程联立，利用相切找到对应的判别式为0即可求出a的值．

解答 解：由题得，双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的两条渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，
又因为是曲线$y=a{x^2}+\frac{1}{3}$的两条切线，
所以联立可得⇒ax²±$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$=0对应△=$\frac{4}{9}$-4×$\frac{1}{3}$a=0
解得a=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题涉及到双曲线的两条渐近线方程的求法，在求双曲线的两条渐近线方程时，一定要先看焦点在X轴上还是焦点在Y轴上．