Question

如图,S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD ,AB=1，SB=.

(1)求证：BCSC;
(2) 设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小
(3) 求面ASD与面BSC所成二面角的大小;

Answer 1

(1) 先证BC⊥平面SDC    (2) 异面直线DM与SB所成的角为90°(3) 面ASD与面BSC所成
的二面角为45°

试题分析：(1)∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D,
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.
（2）取AB中点P，连结MP，DP.
在△ABS中,由中位线定理得MP//SB,或其补角为所求.
,又
∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 
即异面直线DM与SB所成的角为90°.
(3).∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S—ABCD，
如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面
BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A₁S， ∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在R t△SCB中，由勾股定理得SC=，在R t△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题
时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．