Question

13．如图（1），已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图（2）E为BD的中点．
（1）求证：CE∥平面ADM；
（2）求四面体EAMD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点F，证明FECM是平行四边形，可得CE∥MF，即可证明CE∥平面ADM；
（2）四面体EAMD的体积=$\frac{1}{2}$四面体BAMD的体积，利用体积公式即可求四面体EAMD的体积．

解答 （1）证明：如图所示，取AD的中点F，连接CE，EF，FM，则FE平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
∴FE平行且等于MC，
∴FECM是平行四边形，
∴CE∥MF，
∵CE?平面ADM，MF?平面ADM，
∴CE∥平面ADM；
（2）解：四面体EAMD的体积=$\frac{1}{2}$四面体BAMD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．