Question

【题目】设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn

Answer 1

【答案】证明：一：当x≥1时1≤x≤x2≤…≤xn ，
由排序原理：顺序和≥反序和，得
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn
≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因为x ， x2 ， …，xn ， 1为序列1，x ， x2 ， …，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1·x＋x·x2＋…＋xn-1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn-1·x＋xn·1，
得x＋x3＋…＋x2n-1＋xn≥(n＋1)xn.②
将①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.
二：当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn ，
但①②仍然成立，于是③也成立.
综合一、二，证毕.
【解析】考查排序不等式的应用.解答本题需要注意：题目中只给出了x＞0，但对于x≥1，x＜1没有明确，因此需要进行分类讨论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解排序不等式的相关知识，掌握排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和．