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棱长为1的正四面体内切球的表面积为(  )
分析:设所求正四面体为S-ABCD,可得它的内切球的球心0在高线SH上,延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO.利用正三角形的性质及三角形相似,算出内切球的半径OH=
1
4
SH,结合题中数据可得内切球的半径r=
6
12
,利用球的表面积公式即可算出答案.
解答:解:设正四面体S-ABCD如图所示,
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH:HD=2:1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
OA
OH
=
DS
DH
=3,可得OA=30H=S0
因此,SH=4OH,可得内切球的半径OH=
1
4
SH
∵正四面体棱长为1
∴Rt△SHD中,SD=
3
2
,HD=
1
3
SD=
3
6

可得SH=
SD2-HD2
=
6
3
,得内切球的半径r=OH=
1
4
×
6
3
=
6
12

因此正四面体内切球的表面积为S=4πr2=
π
6

故选:A
点评:本题给出棱长等于1的正四面体,求它的内切球的表面积.着重考查了正三角形的性质、相似三角形、勾股定理和球的表面积公式等知识,属于中档题.
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6
3
6
3

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A.     B.   C.     D.

 

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A.
B.
C.
D.

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