Question

【题目】定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当0＜x≤1时，f（x）= ，
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）判断并证明f（x）在[﹣1，0）上的单调性；
（3）当x∈（0，1]时，方程 ﹣2x﹣m=0有解，试求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，

f（﹣x）= = ，

∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣ ，

∴f（x）=

（2）解：设﹣1＜x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）=﹣ + = ，

∵x1＜x2，∴ ﹣ ＜0，﹣2＜x1+x2＜0，

∴ ﹣1＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在[﹣1，0）递减

（3）解：方程 ﹣2x﹣m=0有解，

即m=4x+1﹣2x在（0，1]上有解，

令2x=t，t∈（1，2]，

t2﹣t+1∈（1，3]，

∴m∈（1，3]

【解析】1、本题考查的是函数奇偶性的应用以及解析式的求法。
2、本题考查的是用定义证明函数的单调性。
3、本题考查的是复合函数根的存在情况。
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．