Question

（2006•宝山区二模）已知f（x）=

10x+a

10x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 数 f^-1（x），判断f^-1（x）的奇偶性，并给予证明；
（3）若函数y=F（x）是以2为周期的奇函数，当x∈（-1，0）时，F（x）=f^-1（x），求x∈（2，3）时F（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，由f（0）=0求解a的值；
（2）由函数解析式利用指数式和对数式的互化求解x，把x和y互换后得到原函数的反函数，然后利用就行的定义证明奇偶性；
（3）由2＜x＜3两边同时乘以-1，再加2后求出2-x的范围，代入F（x）=f^-1（x），再利用周期函数的性质得到x∈（2，3）时F（x）的表达式．

解答：解：（1）∵f（x）=

10x+a

10x+1

是奇函数，由f（0）=

1+a

2

=0，得a=-1；
（2）由y=f（x）=

10x+a

10x+1

，
得y•10x+y=10x-1⇒10x(y-1)=-1-y⇒10x=

1+y

1-y

＞0，
∴x=lg

1+y

1-y

⇒f-1(x)=lg

1+x

1-x

(-1＜x＜1)．
而f-1(-x)=lg

1-x

1+x

=-lg

1+x

1-x

=-f-1(x)，
∴f^-1（x）在（-1，1）上是奇函数；
（3）因为当-1＜x＜1时，F（x）=f^-1（x）
∴当2＜x＜3时，-3＜-x＜-2⇒-3+2＜2-x＜0⇒-1＜2-x＜0
∴2-x∈(-1，0)，F(2-x)=f-1(2-x)=lg

1+2-x

1-2+x

=lg

3-x

x-1

，
又∵F（x）是以2为周期的奇函数，
∴F（2-x）=F（-x）=-F（x）⇒-F(x)=lg

3-x

x-1

⇒F(x)=-lg

3-x

x-1

∴F(x)=lg

x-1

3-x

(2＜x＜3)．

点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的反函数的求法，训练了指数式和对数式的互化，通过对定义域的变化求解函数解析式是解答该题的关键，是中档题．