Question

3．已知点A为椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数）上任意一点，点B为圆（x-1）²+y²=1 上任意一点，则|AB|的最大值为7．

Answer 1

分析 求得圆心和半径，由A到B的距离的最大值为A到圆心C的距离最大值加上半径，利用点到直线的距离公式及函数的单调性即可求得A到C距离的最大值．

解答 解：由圆（x-1）²+y²=1，圆心C（1，0），半径r=1
A到C点的距离丨AC丨=$\sqrt{（5cosθ-1）^{2}+9si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{25co{s}^{2}θ-10cosθ+1+9si{n}^{2}θ}$，
=$\sqrt{16co{s}^{2}θ-10cosθ+10}$，
=$\sqrt{16（cosθ-\frac{5}{16}）^{2}+\frac{135}{16}}$，
由-1≤cosθ≤1，根据函数的单调性可知，当cosθ=-1时，
丨AC丨取最大值，最大值为6，
∴|AB|的最大值丨AC丨_max+r=7，
|AB|的最大值为7，
故答案为：7．

点评 本题考查椭圆的参数方程，两点之间的距离公式，二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．