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为进行科学实验,观测小球A、B在两条相交成60°角的直线型轨道上运动的情况,如图所示,运动开始前,A和B分别距O点3m和1m,后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道l1、l2按箭头的方向运动.问:
(1)运动开始前,A、B的距离是多少米?(结果保留三位有效数字).
(2)几分钟后,两个小球的距离最小?
分析:(1)运动开始前,AO=3,BO=1,∠AOB=60°,利用余弦定理算出AB2的值,即可得到A、B之间的距离;
(2)利用余弦定理,分当0≤t≤
3
4
和当t>
3
4
两种情况加以讨论,再综合可得(A'B')2=48t2-24t+7(t≥0),结合二次函数的图象与性质,可得当t=
1
4
时,有最小值,两个小球的距离同时达到最小.
解答:解:(1)运动开始前,AO=3,BO=1,∠AOB=60°
∴AB2=AO2+BO2-2AO•BOcos60°
由此可得小球开始运动前的距离为:AB=
32+12-2×3×1×cos60°
=
7
≈2.65(m)

(2)设t分钟后,小球A、B分别运动到A'、B'处,则AA'=4t,BB'=4t.
0≤t≤
3
4
时,(A'B')2=(3-4t)2+(1+4t)2-2•(3-4t)•(1+4t)•cos60°=48t2-24t+7
t>
3
4
时,(A'B')2=(4t-3)2+(1+4t)2-2•(4t-3)•(1+4t)•cos120°=48t2-24t+7
故 (A'B')2=48t2-24t+7(t≥0)
(A′B′)2=48(t-
1
4
)
2
+4(t≥0)

∴当t=
1
4
,(A'B')min=2(m)
1
4
分钟后两个小球的距离最小,最小值为2m.
点评:本题给出实际问题,求两个动点之间距离的最小值,着重考查了余弦定理、二次函数的值域与最值和进行简单的演绎推理等知识点,属于中档题.
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(1)运动开始前,A、B的距离是多少米?(结果保留三位有效数字)。

(2)几分钟后,两个小球的距离最小?

 

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