Question

已知向量

a

=(sin2x，1)，向量

b

=(

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1)，函数f(x)=λ(

a

•

b

-1)
（1）x∈[-

3π

8

，

π

4

]，(λ≠0)，求函数f （x）的单调递减区间；
（2）当λ=2时，写出由函数y=sin2x的图象变换到与y=f（x）的图象重叠的变换过程．

Answer 1

分析：利用向量的数量积化以及两角和与差的三角函数简函数的表达式．
（1）通过x的范围求出相位的范围，利用λ＞0和λ＜0，分别求出函数的减区间．
（2）直接利用函数图象的平移原则左加右减，推出变换后的函数的解析式即可．

解答：解：∵f(x)=λ(

a

•

b

-1)=λsin2x•

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

…（2分）
∴f(x)=

2

2

λsin(2x-

π

4

)+

λ

2

，…（5分）
（1）∵-

3π

8

≤x≤4∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

…（6分）
当λ＞0时，由-π≤2x-

π

4

≤-

π

2

得单调减区间为[-

3π

8

，-

π

8

]，
同理，当λ＜0时，函数的单调递减区间为[-

π

8

，

π

4

]，周期为π…（8分）
注：单调区间写成开区间，半开区间均给全分．
（2）当λ=2时，f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+1， x∈[-

3π

8

，

π

4

]
将y=sin2x的图象右移

π

8

个单位可得y=sin(2x-

π

4

)的图象，再将图象上每个点的纵坐标扩大到原来的

2

倍，而横坐标保持不变，可得f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的图象，再将所得图象上移一个单位，可得f(2)=

2

sin(2x-

π

4

)+1的图象．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，单调减区间的求法，三角函数的图象的平移变换，基本知识的考查．