Question

11．（Ⅰ）计算（$\frac{1-i}{1+i}$）²
（Ⅱ）已知复数z满足：|z|=1+3i-z，求$\frac{（1+i）^{2}（3+4i）^{2}}{2z}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复数的基本运算即可求解即可计算（$\frac{1-i}{1+i}$）²
（Ⅱ）利用待定系数法先求出z，然后进行化简．

解答 解：（Ⅰ） （$\frac{1-i}{1+i}$）²=$\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）^{2}}=\frac{-2i}{2i}$=-1．
（Ⅱ） 设z=a+bi，（a，b∈R），
而|z|=1+3i-z即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-1-3i+a+bi=0$
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a-1=0}\\{b-3=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即z=-4+3i，
则$\frac{（1+i）^{2}（3+4i）^{2}}{2z}$=$\frac{2i（-7+24i）}{2（-4+3i）}=\frac{24+7i}{4-3i}$=$\frac{（24+7i）（4+3i）}{{4}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{75+100i}{25}$=3+4i．

点评 本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力．分母实数化是解决复数除法的基本方法．