Question

【题目】已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且 ，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= ，得3a2=4c2．

再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．

由题意可知 ，即ab=2．

解方程组 得a=2，b=1．

所以椭圆的方程为

（2）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）．

设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k．

则直线l的方程为y=k（x+2）．

于是A、B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．

由 ，得 ．从而 ．

所以 ．

设线段AB的中点为M，

则M的坐标为 ．

以下分两种情况：

①当k=0时，点B的坐标是（2，0），

线段AB的垂直平分线为y轴，

于是 ．

由 ，得 ．

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为

．

令x=0，解得 ．

由 ， ，

=

= ，

整理得7k2=2．故 ．

所以 ．

综上， 或

【解析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据 求得a和b，则椭圆的方程可得．（2）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．设线段AB的中点为M，当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据 求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据 求得y0；综合答案可得．